Question

20．已知△ABC的内角为A，B，C，2sinA=$\sqrt{3}$sinB=3sinC，则cosB的值是$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 由已知等式求出sinA，sinB，sinC的比值，利用正弦定理求出a，b，c的比值，设出a，b，c，利用余弦定理表示出cosB，代入计算即可求出值．

解答 解：∵2sinA=$\sqrt{3}$sinB=3sinC，
∴sinA：sinB：sinC=3：2$\sqrt{3}$：2，
利用正弦定理化简得：a：b：c=3：2$\sqrt{3}$：2，
设a=3k，b=2$\sqrt{3}$k，c=2k，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{4{k}^{2}+9{k}^{2}-12{k}^{2}}{12{k}^{2}}$=$\frac{1}{12}$．
故答案为：$\frac{1}{12}$

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及比例的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．