Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2

2

，PA=2，E，F是PC上的两点，PE=2EC，CF=2FP，连AF．
（Ⅰ）证明：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅲ）设二面角A-PB-C为90°，判断BC与平面PAB是否垂直，并求棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）记AC∩BD=O，连OE，AF，由已知条件得OE∥AF，由此及彼能证明AF∥平面BDE．
（Ⅱ）Rt△PAC，PA=2，AC=2

2

，从而

OE

OC

=

CA

CP

，△CEO∽△CAP，进而OE⊥PC，由菱形性质得BD⊥AC，由线面垂直得BD⊥PA，由此能证明PC⊥平面BDE．
（3）过A作AM⊥PB于M，则AM⊥平面PBC，由此能求出棱锥P-ABCD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：记AC∩BD=O，连OE，AF，
∵底面ABCD为菱形，∴O是AC中点，
∵E，F是PC上的两点，PE=2EC，CF=2FP，
∴OE∥AF，
∵AF不包含于平面BDE，OE?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．…（4分）
（Ⅱ）Rt△PAC，PA=2，AC=2

2

，∴CE=

1

3

PC=

2 3

3

，
∴

OE

OC

=

CA

CP

，△CEO∽△CAP，∴OE⊥PC，
菱形ABCD中，BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，
∵BD∩OE=O，BD，OE?平面BDE，
∴PC⊥平面BDE．…（8分）
（3）解：过A作AM⊥PB于M，则AM⊥平面PBC，∴AM⊥BC，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB．底面ABCD为正方形．
∴VP-ABCD=

1

3

PA•S△BCD=

1

3

×2×4=

8

3

．…（13分）

点评：本题考查直线与平行平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查棱体体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．