Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC= AA1 ， D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．
（1）证明：DC1⊥面BCD；
（2）设AA1=2，求点B1到平面BDC1的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．

由于D是棱AA1的中点，故DC=DC1．

又AC= AA1，可得DC2+DC12=CC12，所以△C1DC是直角三角形，

∴C1D⊥DC．

而DC1⊥BD，DC∩BD=D，

所以DC1⊥面BCD

（2）解：由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两垂直．

以C为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．

由题意知B（0，1，0），D（1，0，1），C1（0，0，2），B1（0，1，2），

P（ ， ，2），

则 =（1，﹣1，1）， =（﹣1，0，1）， =（﹣ ，﹣ ，0），

=（0，﹣1，0）

设 =（x，y，z）是平面BDC1的法向量，则

可取 =（1，2，1）．

设点B1到平面BDC1的距离为d，则d=| |= ．

【解析】（1）在矩形ACC1A1中，利用勾股定理证明C1D⊥DC，由DC1⊥BD，DC∩BD=D能证明DC1⊥平面BDC；（2）建立空间直角坐标系，求出平面BDC1的法向量，即可求点B1到平面BDC1的距离．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．