Question

【题目】已知F1 ， F2为椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点，M为椭圆C的上顶点，且|MF1|=2，右焦点与右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率kOA ， kOB满足kOAkOB=﹣ ，求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，a=2，a﹣c=1，得c=1，a2=b2+c2，

∴b2=3，

∴椭圆的方程为

（2）解：①当直线l的斜率不存在时，设l：x=n，不妨取A（n， ），B（n，﹣ ），

由kOAkOB=﹣ ，解得n2=2．

此时，S△AOB= 丨AB丨丨n丨= ，

②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，消去y化简得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

由韦达定理可知x1+x2=﹣ ，x1x2= ，△＞0得4k2﹣m2+3＞0

kOAkOB=﹣ ， =﹣ ，即：3x1x2+4y1y2=0，

即：3x1x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，

即：（3+4k2）x1x2+4km（x1+m2）+4m2=0，

化简整理得：3+4k2=2m2，

由弦长公式得：丨AB丨= ，

= ，

O到直线y=kx+m的距离d= ，则：

S△AOB= 丨AB丨d= 丨m丨，

= 丨m丨，

= ．

综上所述，S△/span>AOB=

【解析】（1）由椭圆的性质，|MF1|=2，即a=2，a﹣c=1，即可求得c=1，b2=3，即可求得椭圆的方程；（2）当直线l斜率不存在时，kOAkOB=﹣ ，求得A和B点坐标，利用三角形面积公式，即可求得△AOB的面积，当直线l的斜率存在，设出直线l的方程，将直线l的方程代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2 ， 根据斜率公式求得表示出kOAkOB ， 由点到直线距离公式及三角形面积公式，即可求得△AOB的面积，综上即可求得△AOB的面积．