Question

17．已知函数f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$+x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{2a}^{2}}{{x}^{2}}$+1=$\frac{（x+2a）（x-a）}{{x}^{2}}$，
a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
a=0时，f（x）在（0，+∞）递增，
a＜0时，f（x）在（0，-2a）递减，在（-2a，+∞）递增；
（2）由（1）a＞0时，f（x）_min=f（a）=alna+3a≥0，解得：a≥e^-3，
a=0时，f（x）=x≥0成立，
a＜0时，f（x）_min=f（-2a）=aln（-2a）=aln（-2a）-3a≥0，解得：a≥-$\frac{{e}^{3}}{2}$，
综上：a∈[-$\frac{{e}^{3}}{2}$，0]∪[e^-3，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．