Question

15．设关于x的不等式|2x-1|＜t|x|．
（1）当t=2时，不等式|2x-1|＜t|x|+a对?x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若原不等式的解中整数解恰有2个，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a＞|2x-1|-2|x|≥|2x-1-2x|=1，即a＞1．
（2）由题意可得t＞0，不等式（4-t²）x²-4x+1＜0①的整数解只有2个．利用二次函数的性质求得0＜t＜2，解不等式①，求得$\frac{1}{2+t}$＜x＜$\frac{1}{2-t}$．结合题意可得不等式一定有整数解1和2，可得 2＜$\frac{1}{2-t}$≤3，由此求得t的范围．

解答 解：（1）由于当t=2时，不等式|2x-1|＜2|x|+a对?x∈R恒成立，
故a＞|2x-1|-2|x|≥|2x-1-2x|=1，即a＞1．
（2）关于x的不等式|2x-1|＜t|x|的整数解只有2个，∴t＞0．
即 （2x-1）²＜t²•x² 的整数解只有2个，即 （4-t²）x²-4x+1＜0①的整数解只有2个．
∴4-t²＞0，△=4t²＞0，求得0＜t＜2．
解不等式①，求得$\frac{1}{2+t}$＜x＜$\frac{1}{2-t}$．
再根据得$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2+t}$＜$\frac{1}{2}$，结合题意可得不等式一定有整数解1和2，
∴2＜$\frac{1}{2-t}$≤3，
求得$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，二次函数的性质应用，属于中档题．