Question

6．（1）求${（{{x^2}-\frac{1}{2x}}）^9}$的展开式中的常数项；
（2）若${（{x-\frac{a}{x}}）^9}$的展开式中x³的系数是-84，求a的值；
（3）求证：9ⁿ⁺¹-8n-9能被64整除（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
（2）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x³的系数．
（3）把9ⁿ⁺¹-8n-9利用二项式定理化为 9（8ⁿ+${C}_{n}^{1}$•8^n-1+${C}_{n}^{2}$•8^n-2+…+${C}_{n}^{n-2}$•8² ）+64，即可证得结论．

解答 解　（1）求${（{{x^2}-\frac{1}{2x}}）^9}$的展开式的通项公式为${T_{r+1}}=C_9^r{（{x^2}）^{9-r}}{（-\frac{1}{2x}）^r}={（-\frac{1}{2}）^r}C_9^r{x^{18-3r}}$，
令18-3r=0，得r=6，即第7项为常数项，T₇=$\frac{1}{64}$•${C}_{9}^{6}$=$\frac{21}{16}$．
（2）${（{x-\frac{a}{x}}）^9}$的展开式的通项公式为 ${T_{r+1}}=C_9^r{（x）^{9-r}}{（-\frac{a}{x}）^r}={（-a）^r}C_9^r{x^{9-2r}}$，令9-2r=3，得r=3，
∵x³的系数是-84，∴${（-a）^r}C_9^r=-84$，∴a³=1，∴a=1．
（3）证明∵9ⁿ⁺¹-8n-9=9•9ⁿ-8n-9=9（8+1）ⁿ-8n-9=9（8ⁿ+${C}_{n}^{1}$•8^n-1+${C}_{n}^{2}$•8^n-2+…+${C}_{n}^{n-1}$•8+1）-8n-9
=9（8ⁿ+${C}_{n}^{1}$•8^n-1+${C}_{n}^{2}$•8^n-2+…+${C}_{n}^{n-2}$•8² ）+64，
由于（8ⁿ+${C}_{n}^{1}$•8^n-1+${C}_{n}^{2}$•8^n-2+…+${C}_{n}^{n-2}$•8² ）和64 都能被64整除，
故9（8ⁿ+${C}_{n}^{1}$•8^n-1+${C}_{n}^{2}$•8^n-2+…+${C}_{n}^{n-2}$•8² ）+64 能被64整除，
故9ⁿ⁺¹-8n-9能被64整除．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．