Question

16．在边长为1的正三角形ABC中，设$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CA}=3\overrightarrow{CE}$，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=（　　）

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{5}{4}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 根据向量加法及条件便有：$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$，由条件可得到$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{CA}$三向量的长度及其夹角，从而进行数量积的运算即可．

解答 解：如图，根据条件：
$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）•（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}）$=$（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}）$
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{BC}}^{2}$$+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}$=$-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}-\frac{1}{12}$=$-\frac{1}{4}$．
故选A．

点评 考查向量加法的几何意义，向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，注意正确确定向量的夹角．