Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，y），$\overrightarrow{b}$=（1，-3），且满足（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$的坐标；
（2）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式求得y的值，可得向量$\overrightarrow{a}$的坐标．
（2）设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，求得cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$ 的值，可得θ的值．

解答 解：（1）∵已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，y），$\overrightarrow{b}$=（1，-3），且满足（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，
∴（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=2（1-3y）+10=0，求得y=2，可得向量$\overrightarrow{a}$=（1，2）．
（2）平面内向量夹角的θ的取值范围是θ∈[0，π]．
设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∵cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1-6}{\sqrt{5}•\sqrt{10}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．