Question

14．如果一个实数数列{a_n}满足条件：$a_{n+1}^2-{a_n}=d$（d为常数，n∈N^*），则称这一数列“伪等差数列”，d称为“伪公差”．给出下列关于某个伪等差数列{a_n}的结论：①对于任意的首项a₁，若d＜0，则这一数列必为有穷数列；②当d＞0，a₁＞0时，这一数列必为单调递增数列；③这一数列可以是一个周期数列；④若这一数列的首项为1，伪公差为3，$-\sqrt{5}$可以是这一数列中的一项；n∈N^*⑤若这一数列的首项为0，第三项为-1，则这一数列的伪公差可以是$\frac{{\sqrt{5}-3}}{2}$．其中正确的结论是③④．

Answer 1

分析 通过取a₁=$\frac{1}{2}$、d=-$\frac{1}{4}$、a_n＞0易知①不正确；通过a_n+1=±$\sqrt{{a}_{n}+d}$可知②不正确；不妨取伪公差d=0即得这一数列是周期数列故③正确；通过代入计算可知④正确；通过首项及平方≥0即得⑤不正确．

解答 解：①当a₁=$\frac{1}{2}$、d=-$\frac{1}{4}$、a_n＞0时，
依题意，a_n=$\frac{1}{2}$，故不正确；
②当d＞0，a₁＞0时，
∵a_n+1=±$\sqrt{{a}_{n}+d}$，
∴这一数列不是单调递增数列，故不正确；
③易知当伪公差d=0、a_n=1时，这一数列是周期数列，故正确；
④∵a₁=1，d=3，
∴a₂=±$\sqrt{{a}_{1}+d}$=±2，
∴当a₂=2时a₃=±$\sqrt{{a}_{2}+d}$$±\sqrt{5}$，故正确；
⑤∵a₁=0，a₃=-1，
∴${{a}_{2}}^{2}$=a₁+d=d，
∴d≥0，
而$\frac{{\sqrt{5}-3}}{2}$＜0，故不正确；
综上所述：③④正确，①②⑤不正确，
故答案为：③④．

点评 本题考查考查数列的性质，注意解题方法的积累，属于中档题．