Question

3．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=$\sqrt{3}$．已知PB=PC．
（1）若N为PA的中点，求证：DN∥平面PBC；
（2）若M为BC的中点，求证：MN⊥BC．

Answer 1

分析 （1）取PB的中点G，连接NG，CG，经C点作CM∥AD，交AB与点M，利用已知可证：NG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB$\stackrel{∥}{=}$DC，从而得证四边形DCGN是平行四边形，得证DN∥CG，从而证明DN∥平面PBC．
（2）由（1）可求BC，BM，AM，由勾股定理可得AM⊥BC，又PB=PC，M为BC的中点，可证PM⊥BC，通过证明BC⊥平面PAM，即可得证BC⊥MN．

解答 证明：（1）取PB的中点G，连接NG，CG，
∵N为PA的中点，
∴NG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
再，经C点作CM∥AD，交AB与点M，
∵ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴BM=$\frac{CM}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=1，AB=2，
∴NG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB$\stackrel{∥}{=}$DC，即四边形DCGN是平行四边形，
∴DN∥CG，
∵DN?平面PBC，CG?平面PBC，
∴DN∥平面PBC．
（2）由（1）可得：BC=2，
∵M为BC的中点，可得：BM=1，
∴利用余弦定理可得：AM²=2²+1²-2×2×1×cos60°=3，
∴AM²+BM²=3+1=4=AB²，由勾股定理可得AM⊥BC，
又∵PB=PC，M为BC的中点，
∴PM⊥BC，
∴由AM∩PM=M，可得BC⊥平面PAM，
又MN?平面PAM，
∴BC⊥MN．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．