Question

14．在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D、E、F分别为棱BC，A′A，AC的中点．
（1）求证：平面AB′D⊥平面BCC′B′；
（2）求证：EF∥平面AB′D．

Answer 1

分析 （1）由BB′⊥平面ABC可得BB′⊥AD，由正三角形ABC得出BC⊥AD，于是AD⊥平面BCC′B′，从而有平面AB′D⊥平面BCC′B′．
（2）取AB′中点M，连接EM，DM，DF，则利用中位线定理可证四边形DFEM是平行四边形，于是EF∥DM，于是EF∥平面AB′D．

解答 证明：（1）∵BB′⊥平面ABC，BB′?平面B′C′CB，
∴平面B′C′CB⊥平面ABC，
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
又平面B′C′CB⊥平面ABC，平面B′C′CB∩平面ABC=BC，
∴AD⊥平面B′C′CB，
∵AD?平面AB′D，
∴平面AB′D⊥平面BCC′B′．
（2）取AB′中点M，连接EM，DM，DF．
∵D、E、F、M分别为棱BC，A′A，AC，AB′的中点，
∴DF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}AB$，EM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$A′B′，
∵AB$\stackrel{∥}{=}$A′B′，
∴DF$\stackrel{∥}{=}$EM，
∴四边形DFEM是平行四边形，
∴EF∥DM，又EF?平面AB′D，DM?平面AB′D．
∴EF∥平面AB′D．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，构造平行线是证明的关键，属于中档题．