Question

4．在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，BC=1，cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，∠ACB=$\frac{2π}{3}$．
（1）求AC的长；
（2）若AD=$\sqrt{21}$，求CD的长和四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中使用正弦定理解出AC；
（2）在△ACD中使用余弦定理解出CD，分别求出两个三角形的面积，得出四边形的面积．

解答 解：（1）∵cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，B∈（0，π），∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴sin∠BAC=sin（B+∠ACB）=sinBcos$\frac{2π}{3}$+cosBsin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sin∠BAC}$，∴AC=$\frac{BCsinB}{sin∠BAC}$=2．
（2）cos∠CAD=cos（$\frac{π}{2}-$∠BAC）=sin∠BAC=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
在△ACD中，由余弦定理得CD²=AD²+AC²-2AD•AC•cos∠CAD=21+4-2$•\sqrt{21}$•2•$\frac{\sqrt{21}}{14}$=19．
∴CD=$\sqrt{19}$．
sin∠CAD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠CAD}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BC•sin∠ACB$=$\frac{1}{2}×2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_△ACD=$\frac{1}{2}AC•AD•sin∠CAD$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{21}×\frac{5\sqrt{7}}{14}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
∴四边形ABCD的面积S=S_△ABC+S_△ACD=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了使用正弦定理，余弦定理解三角形，属于中档题．