Question

11．在平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y=e^x-2交于不同的两点A，B，分别过A，B作x轴的垂线，与曲线y=lnx分别交于点C，D，则直线CD的斜率为1．

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=kx（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），由A、B与曲线、直线的关系求出求出x₁和x₂，由斜率公式求出直线CD的斜率k，根据条件和对数的运算化简得到答案．

解答 解：设直线l的方程为y=kx（k＞0），
且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），
则C（x₁，lnx₁），D（x₂，lnx₂），
因为A、B点在曲线y=e^x-2和直线l上，
所以kx₁=e^x₁-2，则x₁=2+lnkx₁，
同理可得x₂=2+lnkx₂，
所以直线CD的斜率k=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{lnk{x}_{2}-lnk{x}_{1}}$=$\frac{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{ln\frac{k{x}_{2}}{k{x}_{1}}}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查直线与曲线的位置关系，直线斜率的公式，对数的运算性质的应用，注意斜率、坐标的范围，考查计算、化简能力．