Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b=2，cosC=$\frac{1}{4}$，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{15}}}{4}$．
（1）求a的值；
（2）求sin2B的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，结合三角形面积公式即可求a的值．
（2）由（1）及余弦定理可求c的值，利用正弦定理可求sinB，结合大边对大角可得B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$cosC=\frac{1}{4}$，且0＜C＜π，
∴$sinC=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
又由$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×2a×\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{3\sqrt{15}}}{4}$，
∴a=3．
（2）由（1）知，a=3，b=2，
∴${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcosC=9+4-2×3×2×\frac{1}{4}=10$，
∴$c=\sqrt{10}$．
∵$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{{\sqrt{10}}}{{\frac{{\sqrt{15}}}{4}}}=\frac{2}{sinB}$，
∴$sinB=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，
又∵b＜c，B为锐角，
∴$cosB=\frac{{\sqrt{10}}}{4}$，
∴$sin2B=2sinBcosB=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理，正弦定理，大边对大角，二倍角的正弦函数公式等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．