Question

16．给出下列四个命题：
①“?x₀∈R，使2^x₀＞3”的否定是“?x∈R，使2^x＜3”；
②函数y=|sinx+$\frac{1}{2}$|的最小正周期是π；
③“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；
④“m=-1”是“直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件．
其中正确的命题个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据含有量词的命题的否定进行判断，
②根据三角函数的周期进行判断，
③根据正弦定理以及逆命题的定义进行判断，
④根据直线垂直的等价条件进行判断．

解答 解：①“?x₀∈R，使2^x₀＞3”的否定是“?x∈R，使2^x≤3”；故①错误，
②函数y=|sinx+$\frac{1}{2}$|的最小正周期是2π；故②错误
③“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题为若A＞B，则sinA＞sinB，正确，
∵若A＞B，则a＞b，则由正弦定理得sinA＞sinB成立，故③正确，
是真命题；
④当m=-1时，两直线的方程mx+（2m-1）y+1=0，与3x+my+2=0，化为-x-3y+1=0和3x-y+2=0，
可得出此两直线是垂直的，
当两直线垂直时，
当m=0时，符合题意，
当m≠0时，两直线的斜率分别是-$\frac{m}{2m-1}$与$-\frac{3}{m}$，由两直线垂直得-$\frac{m}{2m-1}×（-\frac{3}{m}）=-1$得m=-1，
由上知，“m=-1”可得出直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直；
由直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”可得出m=-1或m=0，
所以m=1是直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直的充分不必要条件，故④错误，
故选：A

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．