Question

16．已知不共线向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=2，且向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ的余弦值．

Answer 1

分析 根据平面向量的数量积运算以及向量垂直时数量积为0，列出方程求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角θ的余弦值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，且|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=2，向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=0，
即${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=0；
∴3²-3×2×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞-2×2²=0，
解得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{6}$；
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角θ的余弦值为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与向量垂直的应用问题，是基础题目．