Question

4．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈[-1，1）}\\{{x}^{2}-1，x∈[1，2]}\end{array}\right.$，则${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx的值为（　　）

• A． $\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$+3
• C． $\frac{π}{4}$+$\frac{4}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$+3

Answer 1

分析 根据定积分性质可得${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx=${∫}_{-1}^{1}（\sqrt{1-{x}^{2}}）dx$+${∫}_{1}^{2}（{x}^{2}-1）dx$，然后根据定积分可得．

解答 解：根据定积分性质可得${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx=${∫}_{-1}^{1}（\sqrt{1-{x}^{2}}）dx$+${∫}_{1}^{2}（{x}^{2}-1）dx$，
根据定积分的几何意义，${∫}_{-1}^{1}（\sqrt{1-{x}^{2}}）dx$是以原点为圆心，以1为半径圆面积的$\frac{1}{2}$，
${∫}_{-1}^{1}（\sqrt{1-{x}^{2}}）dx$=$\frac{π}{2}$，
∴${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx=$\frac{π}{2}$+（$\frac{1}{3}{x}^{3}-x$）${丨}_{1}^{2}$，
=$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$，
故答案选：A．

点评 本题求一个分段函数的定积分之值，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．