Question

7．已知函数y=ln$\frac{a-x}{x+1}$的定义域为P，不等式|x-1|≤1的解集为Q．
（1）若a=5，求P；
（2）若Q⊆P，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=5时，由$\frac{5-x}{x+1}$＞0，化为：（x+1）（x-5）＜0，解出即可得出．
（2）由不等式|x-1|≤1，化为-1≤x-1≤1，解得Q=[0，2]．由$\frac{a-x}{x+1}$＞0，化为：（x+1）（x-a）＜0，a＞0时，解得不等式可得：-1＜x＜a．根据Q⊆P，即可得出．

解答 解：（1）a=5时，由$\frac{5-x}{x+1}$＞0，化为：（x+1）（x-5）＜0，解得-1＜x＜5．
∴P=（-1，5）．
（2）由不等式|x-1|≤1，化为-1≤x-1≤1，解得0≤x≤2，
∴不等式|x-1|≤1的解集Q=[0，2]．
由$\frac{a-x}{x+1}$＞0，化为：（x+1）（x-a）＜0，
a＞0时，解得不等式可得：-1＜x＜a．
∵Q⊆P，
∴a＞2．
∴正数a的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、集合的运算性质、函数的定义域，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．