Question

已知双曲线

x2

16

-

y2

9

=1及点P（2，1），是否存在过点P的直线l，使直线l被双曲线截得的弦恰好被P点平分？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设点代入双曲线方程，作差，假设P为AB的中点，求出直线的斜率，从而可得方程，再代入双曲线方程验证，可知这样的直线不存在．

解答： 解：假设符合题意的直线l存在．…（1分）
设直线l与双曲线的两个交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴

x12 16 - y12 9 =1 x22 16 - y22 9 =1

. 两式相减可得到 

y1+y2

x1+x2

•

y1-y2

x1-x2

=

9

16

．…（5分）
∵P（2，1）为AB的中点，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2．…（7分）
∴kl=

y1-y2

x1-x2

=

9

8

．…（8分）
∴直线l的方程为y-1=

9

8

(x-2) ，即9x-8y-10=0    …（10分）
由过p与双曲线有两个焦点时-

b

a

≤k≤

b

a

即-

3

4

≤k≤

3

4

…（11分）
∴不存在符合题意的直线l．…（12分）

点评：本题的考点是双曲线的简单性质，主要考查点差法求解中点弦问题，应注意验证结论是否满足题意．