Question

17．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x²+y²-6x+4y-3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AF}$=-4，则点A的坐标是（　　）

• A． （-1，2）或（-1，-2）
• B． （1，2）或（1，-2）
• C． （1，2）
• D． （1，-2）

Answer 1

分析 先求出抛物线的焦点F（1，0），根据抛物线的方程设A（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），则$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），$\overrightarrow{AF}$=（1-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，-y₀），再由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AF}$=-4，可求得y₀的值，最后可得答案．

解答 解：x²+y²-6x+4y-3=0，可化为（x-3）²+（y+2）²=16，圆心坐标为（3，-2），半径为4，
∵抛物线M的准线与曲线x²+y²-6x+4y-3=0只有一个公共点，
∴3+$\frac{p}{2}$=4，∴p=2．
∴F（1，0），
设A（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀）
则$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），$\overrightarrow{AF}$=（1-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，-y₀），
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AF}$=-4，∴y₀=±2，∴A（1，±2）
故选B．

点评 本题主要考查抛物线的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．