Question

已知抛物线y²=4x的准线与x轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与X轴交于D（X₀，0）
（1）求X₀的取值范围．
（2）△ABD能否是正三角形？若能求出X₀的值，若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意易得M（-1，0）
设过点M的直线方程为y=k（x+1）（k≠0）代入y²=4x，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0
再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁•x₂=1
y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=k（x₁+x₂）+2k=
∴AB的中点坐标为（）
那么线段AB的垂直平分线方程为，
令y=0，得，即
又方程（1）中△=（2k²-4）²-4k⁴＞0，∴0＜k²＜1，∴，
∴x₀＞3
（2）若△ABD是正三角形，则需点D到AB的距离等于
点D到AB的距离d=
据，得：
∴4k⁴+k²-3=0，（k²+1）（4k²-3）=0，
∴，满足0＜k²＜1
∴△ABD可以为正△，此时
分析：（1）设过点M的方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0可求得k²的范围，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理求得x₁+x₂和y₁+y₂，进而得到AB中点坐标，AB垂直平分线的方程，令y=0，得，这样就可以求出X₀的取值范围．
（2）若△ABD是正三角形，则需点D到AB的距离等于，由此建立方程，可求，满足0＜k²＜1，从而我们就可以解出这道题．
点评：直线与抛物线的位置关系问题，通常我们是联立方程，组成方程组，利用韦达定理求解，对于存在性命题，一般式假设存在，转化为封闭性命题求解．