Question

如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB=a
（1）证明：EB⊥FD
（2）求点B到平面FED的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证EB⊥FD，而FD?平面BFD，可先证BE⊥平面BFD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BE与平面BFD内两相交直线垂直，而BE⊥AC，根据线面垂直的性质可知FC⊥BE，又FC、AC?平面BFD，FC∩AC=C，满足定理所需条件；
（2）利用勾股定理求出FC，根据直角三角形的面积公式求出S_△EBD与S_△EFD，根据等体积法可得S_△EBD•FC=S_△EFD•h建立方程解之即可求出点B到平面FED的距离．
解答：解：（1）证明：∵点E为弧AC的中点
∴∠ABE=，即BE⊥AC
又∵FC⊥平面BED，BE?平面BED
∴FC⊥BE
又∵FC、AC?平面BFD，FC∩AC=C
∴BE⊥平面BFD而FD?平面BFD
∴EB⊥FD
（2）FC===2a
S_△EBD=BE•BD=
在Rt△FBE中，EF=
而FD=ED=
∴S_△FED=FE•H_EF=••=
由等体积法可知：
S_△EBD•FC=S_△FED•h
解得：h=
即点B到平面FED的距离为
点评：本题主要考查了线面垂直的判定与性质、以及点到平面的距离的度量和等体积法的应用等有关知识，同时考查了推理能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．