Question

如图所示，已知抛物线方程为y²＝4x，其焦点为F，准线为l，A点为抛物线上异于顶点的一个动点，射线HAE垂直于准线l，垂足为H，C点在x轴正半轴上，且四边形AHFC是平行四边形，线段AF和AC的延长线分别交抛物线于点B和点D.

(1)证明：∠BAD＝∠EAD；
(2)求△ABD面积的最小值，并写出此时A点的坐标．

Answer 1

（1）见解析（2）16 ，(1，±2)

(1)证明：由抛物线定义得|AH|＝|AF|，∴∠AHF＝∠AFH.
又∵四边形AHFC是平行四边形，∴HF∥AC，∴∠AHF＝∠EAD，∠AFH＝∠BAD.
综上可得∠BAD＝∠EAD.
(2)易知焦点F(1，0)，准线l方程为x＝－1，设A点坐标为 (a≠0)，
则直线AB方程为4ax－(a²－4)y－4a＝0(包括AB⊥x轴的情况)，
结合y²＝4x得4a²x²－(a⁴＋16)x＋4a²＝0，
根据抛物线定义，可知|AB|＝x_A＋x_B＋2＝＋2＝＋＋2≥4(当且仅当a＝±2时等号成立)．
另外，结合k_AD＝k_HF＝－，可得直线AD方程为y＝－x＋＋a，
结合y²＝4x得ay²＋8y－a³－8a＝0，由于y_D＋y_A＝－，
∴y_D＝－－a.又∵∠BAD＝∠EAD，
∴D点到直线AB的距离即为D点到直线AE的距离，即d＝|y_D－y_A|＝≥8(当且仅当a＝±2时等号成立)．
∴S_△ABD＝·|AB|·d≥×4×8＝16(当且仅当a＝±2时取“＝”号)．
此时A点坐标为(1，±2)．