Question

【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为 短轴两个端点为 且四边形 是边长为 的正方形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 ．证明： 为定值．

Answer 1

【答案】解：（I） ， ，∴ ，
∴椭圆方程为 ．
（Ⅱ） ， ，设 ， ，
则 ， ，
直线 ，即 ，
代入椭圆 得 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ （定值）
【解析】（1）根据题目中所给的条件的特点，关键是利用椭圆的几何性质求出a、b的值，写出椭圆的标准方程即可．
（2）设出点M的坐标后写出直线CM的方程，并把它和椭圆的方程联立，解方程组可求P的坐标，进而得到向量OM、OP的坐标，计算它们的数量积，即可证明出定值．