Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1；等比数列{b_n}中，b₁=1．若a₃+S₃=14，b₂S₂=12．
（I）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n+2b_n，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：T_n≥3ⁿ．

Answer 1

（I）解：设等差数列{a_n}的公差为d；等比数列{b_n}的公比为q，则
∵a₃+S₃=14，b₂S₂=12．
∴（1+2d）+（3+3d）=14，d（2+d）=12
∴d=2，q=3
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1；
（Ⅱ）证明：∵c_n=a_n+2b_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，
∴T_n=（1+3+…+2n-1）+2（1+3+3²+…+3^n-1）==n²+3ⁿ-1≥3ⁿ
∴T_n≥3ⁿ
分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d；等比数列{b_n}的公比为q，根据a₃+S₃=14，b₂S₂=12，构建方程，即可求a_n与b_n；
（Ⅱ）利用分组求和，求得数列的和，即可证得结论．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查方程组的思想，解题的关键是确定数列的通项，属于中档题．