Question

已知定义在[1，+∞）上的函数f(x)=

4-|8x-12|(1≤x≤2) 1 2 f( x 2 )(x＞2)

，则（　　）

• A．在[1，6）上，方程f（x）-

  1

  6

  x=0有5个零点
• B．关于x的方程f（x）-

  1

  2n

  =0（n∈N^*）有2n+4个不同的零点
• C．当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积为4
• D．对于实数x∈[1，+∞），不等式xf（x）≤6恒成立

Answer 1

分析：根据函数的表达式，作出函数f（x）的图象，利用数形结合分别判断即可．

解答：解：作出函数f（x）的图象，如图：
由函数表达式可知f（1.5）=4，f（2.5）=2，f（3.5）=1，f（4.5）=

1

2

，f（5.5）=

1

4

．
A．由f（x）-

1

6

x=0得f（x）=

1

6

x，设g（x）=

1

6

x，则g（4.5）=

1

6

×

9

2

=

3

4

＞

1

2

，∴在[1，6）上，方程f（x）-

1

6

x=0有6个零点，∴A错误．
B．当n=0时，方程f（x）-

1

2n

=0等价为f（x）=1，此时f（3.5）=1，∴对应方程根的个数为5个，而2n+4=4个，∴B错误．
C．令n=1得，[2^n-1，2ⁿ]=[1，2]，当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形是一个三角形，其面积为：S=

1

2

×1×4=2，∴C错误．
D．由不等式xf（x）≤6等价为f（x）≤

6

x

，在x∈[1，+∞）恒成立，作出函数y=

6

x

的图象如图2，则不等式xf（x）≤6恒成立，∴D正确．
故选：D．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．