Question

12．设a＞0且a≠1，若log_a2＜log₂a，则a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根据对数函数的图象，需要对a进行分类讨论，当0＜a＜1和a＞1时，解不等式即可．

解答 解：log_a2=$\frac{1}{lo{g}_{2}a}$＜log₂a，
当0＜a＜1时，log₂a＜0，
∴（log₂a）²＜1，
即（log₂a-1）（log₂a+1）＜0，
∴log₂a+1＞0，
∴log₂a＞-1=log₂$\frac{1}{2}$，
∴a＞$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$＜a＜1；
当a＞1时，log₂a＞0，
∴（log₂a）²＞1，
即（log₂a-1）（log₂a+1）＞0，
∴log₂a-1＞0，
∴log₂a＞1=log₂2
∴a＞2，
综上所述：a的取值范围为（$\frac{1}{2}$，1）∪（2，+∞），
故答案为：（$\frac{1}{2}$，1）∪（2，+∞）．

点评 本本题考查了对数函数图象和性质，以及分类讨论的思想，属于中档题．