Question

如图所示，在四面体P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，那么二面角B-AP-C的余弦值为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  7

  7

• C、

  3

  3

• D、

  5

  7

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：设AB=BC=CA=PC=a．知平面PAC⊥平面ABC，取AC的中点D连接BD，PD，得△PAD为△PAB在平面PAC的投影．二面角B-AP-C为α，由投影定理得cosα=

S△PAD

S△PAB

．

解答： 解：设AB=BC=CA=PC=a．
知平面PAC⊥平面ABC，取AC的中点D连接BD，PD，
知BD⊥AC，故D为B点在平面PAC的投影．而△PAD为△PAB在平面PAC的投影．
△PAD的面积为：S=

1

2

×1×1×

1

2

a2=

a2

4

，
△PAB中，PA=PB=

2

a，AB=a．
由余弦定理，解得cos∠APB=

2+2-1

2×2

=

3

4

．
从而sin∠APB=

7

4

．
△PAB的面积为S′=

a2

2

×

1

2

×

2

×

2

×

7

4

=

7 a2

4

，
设二面角B-AP-C为α，
由投影定理得cosα=

S

S′

=

a2 4

7 a2 4

=

7

7

．
故答案为：

7

7

．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．