Question

16．已知p：关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根，q：a≤1，则￢p是￢q的（　　）

• A． 充要条件
• B． 充分不必要条件
• C． 必要不充分条件
• D． 不充分也不必要条件

Answer 1

分析 关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负实根，考虑一次或二次线两种情况，对这两种情况分别讨论，解不等式可得a的范围刚好是小于或等于1，应该是充要条件．

解答 解：对于p：关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负实根，可分如下两种情况：
（1）当a=0时，方程是一个直线，可知有一个负实根
（2）当a≠0，当关于x的方程ax²+2x+1=0有实根，△≥0，解可得a≤1；
①当关于x的方程ax²+2x+1=0有一个负实根，有$\frac{1}{a}$＜0，解可得a＜0；
②当关于x的方程ax²+2x+1=0有二个负实根，有 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}＞0}\\{-\frac{2}{a}＜0}\end{array}\right.$，解可得a＞0；，
即有a≠0且a≤1
综上可得，a≤1；
q与p的范围完全相同，
故￢p是￢q的充要条件，
故选：A．

点评 本题考查学生对一元二次方程的根的分布与系数的关系以及充分必要条件的判断，属于基础题．做题时应该注意对字母系数的讨论，避免当成二次直接用根的判别式而至错．