Question

6．设函数f（x）=x³+ln（${\sqrt{{x^2}+1}$+x）且f（${\frac{{a-3{a^2}}}{{{a^3}-3}}}$）-ln（${\sqrt{2}$-1）＜-1，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （3，+∞）
• B． $（{\root{3}{3}，+∞}）$
• C． $（{\root{3}{3}，3}）$
• D． $（{0，\root{3}{3}}）∪（{3，+∞}）$

Answer 1

分析 函数f（x）=x³+ln（${\sqrt{{x^2}+1}$+x），x∈R．可得f（x）+f（-x）=0，因此函数f（x）在R上是奇函数．当x≥0时，函数f（x）单调递增，因此函数f（x）在R上单调递增．f（${\frac{{a-3{a^2}}}{{{a^3}-3}}}$）-ln（${\sqrt{2}$-1）＜-1，化为f（${\frac{{a-3{a^2}}}{{{a^3}-3}}}$）＜f（${\frac{{a-3{a^2}}}{{{a^3}-3}}}$）＜f（-1），再利用单调性可得：${\frac{{a-3{a^2}}}{{{a^3}-3}}}$＜-1，解出即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=x³+ln（${\sqrt{{x^2}+1}$+x），x∈R．
∴f（x）+f（-x）=x³+ln（${\sqrt{{x^2}+1}$+x）+（-x）³+ln（${\sqrt{{x^2}+1}$-x）=0+ln（x²+1-x²）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）在R上是奇函数．
当x≥0时，函数f（x）单调递增，因此函数f（x）在R上单调递增．
又f（-1）=-1+ln$（\sqrt{2}-1）$．
f（${\frac{{a-3{a^2}}}{{{a^3}-3}}}$）-ln（${\sqrt{2}$-1）＜-1，化为f（${\frac{{a-3{a^2}}}{{{a^3}-3}}}$）＜-1+ln（${\sqrt{2}$-1），
又f（-1）=-1+ln$（\sqrt{2}-1）$．
∴f（${\frac{{a-3{a^2}}}{{{a^3}-3}}}$）＜f（-1），
∴${\frac{{a-3{a^2}}}{{{a^3}-3}}}$＜-1，即$\frac{（a-3）（{a}^{2}+3）}{{a}^{3}-3}$＜0，而a²+3＞0，
∴（a³-3）（a-3）＜0，即$（a-\root{3}{3}）$$（{a}^{2}+\root{3}{9}+a×\root{3}{3}）$（a-3）＜0，而${a}^{2}+\root{3}{9}$+$\root{3}{3}$a＞0，
∴$（a-\root{3}{3}）$（a-3）＜0，
解得$\root{3}{3}$＜a＜3．
∴实数a的取值范围为$（\root{3}{3}，3）$．
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．