Question

18．定义在R上的函数f（x）满足：
①f（x-$\frac{3}{4}$）是奇函数；
②对任意的实数x都有f（x）+f（x+$\frac{3}{2}$）=0；
③f（$\frac{1}{2}$）=-2，f（0）=-4，
则f（1）+f（2）+…+f（2014）=（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由已知中定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称，对任意实数x都有f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），我们易判断出函数f（x）是周期为3的周期函数，进而由f（$\frac{1}{2}$）=-2，f（0）=-4，我们求出一个周期内函数的值，进而利用分组求和法，得到答案．

解答 解：∵f（x）+f（x+$\frac{3}{2}$）=0，
∴f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
则f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x），
所以f（x）是周期为3的周期函数，
则f（2）=-f（$\frac{1}{2}$）=2，
∵函数f（x）的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称，
∴f（1）=-f（-$\frac{5}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=2，
∵f（0）=-4，
∴f（1）+f（2）+f（3）=2+2-4=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=f（1）=2，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，其中根据已知中对任意实数x都有f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），判断出函数的周期性，是解答本题的关键，属于中档题．