Question

9．P（x，y）满足x²+y²-4y+1=0，则
（1）x+y最大值？
（2）$\frac{y+1}{x}$取值范围？
（3）x²-2x+y²+1的最值？

Answer 1

分析 （1）令令z=x+y，则当直线x+y-z=0与圆相切时，截距取得最值，即z取得最值，利用切线的性质解出z的最值；
（2）当直线kx-y-1=0圆相切时，k取得最值，利用切线的性质求出k；
（3）x²-2x+y²+1=（x-1）²+y²，表示（x，y）与（1，0）的距离的平方，即可得出结论．

解答 解：（1）令z=x+y，则x+y-z=0，
∴当直线x+y-z=0与圆C相切时，z取得最大值或最小值．此时圆心到直线x+y-z=0的距离d=r=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|2-z|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，解得z=2±$\sqrt{6}$．
∴x+y的最大值为2+$\sqrt{6}$；
（2）令$\frac{y+1}{x}$=k，则kx-y-1=0，当直线与圆C相切时，直线斜率最大或最小，即k最大或最小．
∴$\frac{3}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，∴k=$±\sqrt{2}$，
∴$\frac{y+1}{x}$取值范围是[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
（3）x²-2x+y²+1=（x-1）²+y²，表示（x，y）与（1，0）的距离的平方，
圆心与（1，0）的距离为$\sqrt{5}$，∴（x，y）与（1，0）的距离的最大值为$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$，最小值为$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$，
∴x²-2x+y²+1的最大值为8+2$\sqrt{15}$，最小值为8-2$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，简单的线性规划，属于中档题．