Question

a,b,c为实数，且a=b+c+1.证明：两个一元二次方程x²+x+b=0,x²+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.

Answer 1

假设两个方程都没有两个不等的实数根，则
Δ₁=1-4b≤0,Δ₂=a²-4c≤0,∴Δ₁+Δ₂=1-4b+a²-4c≤0.
∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.∴1-4(a-1)+a²≤0,
即a²-4a+5≤0.但是a²-4a+5=(a-2)²+1＞0,故矛盾.
所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.

证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根，则
Δ₁=1-4b≤0,Δ₂=a²-4c≤0,∴Δ₁+Δ₂=1-4b+a²-4c≤0.
∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.∴1-4(a-1)+a²≤0,
即a²-4a+5≤0.但是a²-4a+5=(a-2)²+1＞0,故矛盾.
所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.