Question

1．求函数y=$\frac{2-cosx}{sinx}$（0＜x＜π）的最小值．

Answer 1

分析 变形由辅助角公式可得$\sqrt{{y}^{2}+1}$sin（x+φ）=2，其中tanφ=$\frac{1}{y}$，由三角函数的值域可得$\sqrt{{y}^{2}+1}$≥2，解不等式可得．

解答 解：∵0＜x＜π，∴y=$\frac{2-cosx}{sinx}$＞0，∴ysinx+cosx=2，
由辅助角公式可得$\sqrt{{y}^{2}+1}$sin（x+φ）=2，其中tanφ=$\frac{1}{y}$，
由三角函数的值域可得$\sqrt{{y}^{2}+1}$≥2，解得y≥$\sqrt{3}$，或y≤-$\sqrt{3}$（舍去）
∴函数y=$\frac{2-cosx}{sinx}$的最小值为$\sqrt{3}$

点评 本题考查三角函数的最值，涉及辅助角公式和三角函数的值域，属中档题．