Question

若函数f（x）=ax³-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值，且函数f（x）图象上以点A（3，f（3））为切点的切线与直线5x-y+1=0平行．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若方程f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数的零点与方程根的关系,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，切线的斜率，由f′（2）=0，且f′（3）=5，列出方程，求出a，b即可；
（2）由（1）得，f'（x）=x²-4，令f'（x）=0，得x=2，或x=-2，列表求出单调区间和极值；
（3）由（2）画出函数f（x）的图象，及直线y=k，由图象观察即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax³-bx+4，∴f′（x）=3ax²-b，
直线5x-y+1=0的斜率为5，
则由题意得，f′（2）=0，且f′（3）=5，即有12a-b=0且27a-b=5，
解得a=

1

3

，b=4，
∴f(x)=

1

3

x3-4x+4．
（2）由（1）得，f'（x）=x²-4，令f'（x）=0，得x=2，或x=-2．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，+2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	28 3	↘	- 4 3	↗

则函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞），单调减区间为（-2，2）．
（3）由（2）得f（x）的极大值为f（-2）=

28

3

，极小值为f（2）=-

4

3

．
函数f(x)=

1

3

x3-4x+4的图象大致如右：
若方程f（x）=k有3个解，需使直线y=k与函数
f(x)=

1

3

x3-4x+4的图象有3个交点，
由图象可知：-

4

3

＜k＜

28

3

．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间和极值，考查数形结合的能力，以及运算能力，属于基础题．