Question

9．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax+1-a（x≥0）}\\{f（x+2）（x＜0）}\end{array}\right.$．
（1）若a=-8，求当-6≤x≤5时，|f（x）|的最大值；
（Ⅱ）对于任意实数x₁（x₁≤3），存在x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-8x+9，x≥0}\\{f（x+2），x＜0}\end{array}\right.$，从而转化为当0≤x≤5时，|f（x）|的最大值，从而求得；
（Ⅱ）分类讨论，从而确定f（x）的性质，再根据二次函数的性质判断a的取值范围．

解答 解：（1）当a=-8，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-8x+9，x≥0}\\{f（x+2），x＜0}\end{array}\right.$，
当-6≤x＜0时，存在0≤t＜2，使f（x）=f（t），
从而只要求当0≤x≤5时，|f（x）|的最大值，
而f（x）=x²-8x+9=（x-4）²-7，
-7≤f（x）≤9；
则|f（x）|≤9；
故f（x）|的最大值为9；
（Ⅱ）若x₁＜2时，取x₂=x₁-2，则f（x₂）=f（x₁-2）=f（x₁）；
符合题意；
只要考虑2≤x₁≤3，存在x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）；
（1）当-$\frac{a}{2}$≤0，即a≥0时，
f（x）=x²+ax+1-a在[0，+∞）上单调递增；
故不存在x₂（x₂≠x₁），f（x₂）=f（x₁）；
（2）当0＜-$\frac{a}{2}$＜2，即-4＜a＜0时，
则只要f（3）≤f（0），
即10+2a≤1-a，
从而解得，-4＜a≤-3；
（3）当2≤-$\frac{a}{2}$≤3，即-6≤a≤-4时，
取x₁=-$\frac{a}{2}$时，不存在x₂（x₂≠x₁），使f（x₂）=f（x₁）；
（4）当-$\frac{a}{2}$＞3，即a＜-6时，
取x₂=-a-x₁＞3，
必有f（x₂）=f（x₁），符合题意；
综上所述，a＜-6或-4＜a≤-3．

点评 本题考查了分段函数与二次函数的性质应用，同时考查了分类讨论的思想与转化思想的应用．