Question

19．已知f（x）=ax²+bx+1（a＞0，b∈R）的最小值为-a，f（x）=0的两个实根为x₁，x₂，P={x|f（x）＜0，x∈R}
（1）求证：|x₁-x₂|=2；
（2）若g（x）=f（x）+2x在x∈P上存在最小值，求a的取值范围；
（3）若0＜x₁＜2，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过对f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）配方可知，$（\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}）^{2}$=1，进而化简即得结论；
（2）通过不妨设x₁＜x₂，利用f（x）+2x在（x₁，x₂）存在最小值可知对称轴位于此区间内，进而计算即得结论；
（3）通过韦达定理可得b的表达式b=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，利用已知条件可知x₂=x₁+2，进而结合函数的单调性即得结论．

解答 （1）证明：∵f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
=a$（x-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}$-a$（\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}）^{2}$，
∴$（\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}）^{2}$=1，即|x₁-x₂|=2；
（2）解：不妨设x₁＜x₂，则
f（x）+2x=ax²-[a（x₁+x₂）-2]x+ax₁x₂在（x₁，x₂）存在最小值，
∴x₁＜$\frac{a（{x}_{1}+{x}_{2}）-2}{2a}$＜x₂，
由（1）可知|x₁-x₂|=2，a＞0，
所以a＞1；
（3）解：∵x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{1}{a}$，
∴b=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵0＜x₁＜2，x₁x₂=$\frac{1}{a}$＞0，|x₁-x₂|=2，
∴x₂=x₁+2，
∴b=-$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{1}+2}$在x₁∈（0，2）上为增函数，
∴b＜-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查二次函数的性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．