Question

3．定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）=x²-x
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最小值；
（3）根据图象求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-x，知当x＜0时，f（x）=f（-x）=x²+x，由此能求出f（x）的解析式．
（2）作出函数f（x）的图象，可得函数f（x）的最小值；
（3）结合图象，能求出f（x）的单调区间．

解答 解：（1）∵y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-x，
当x＜0时，-x＞0，
f（-x）=（-x）²-（-x）=x²+x，
∴f（x）=f（-x）=x²+x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≥0}\\{{x}^{2}+x，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）作出函数f（x）的图象如下

函数f（x）的最小值为-$\frac{3}{4}$；
（3）根据图象知f（x）的增区间是（-$\frac{1}{2}$，0），（$\frac{1}{2}$，+∞）；减区间是（-∞，-$\frac{1}{2}$），（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查函数图象的作法，考查函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答．