Question

1．已知b_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n}{{a}_{n}•{a}_{n-1}}$ 其中a_n=$\frac{1}{2}$+n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 a_n=$\frac{1}{2}$+n=$\frac{1+2n}{2}$，可得b_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n}{{a}_{n}•{a}_{n-1}}$=$（-1）^{n+1}（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$于是数列{b_n}的前n项和T_n=$（1+\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）$-…+$（-1）^{n+1}（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，对n分类讨论即可得出．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{2}$+n=$\frac{1+2n}{2}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{2n+1}$，
∴b_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n}{{a}_{n}•{a}_{n-1}}$=$（-1）^{n+1}（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（1+\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）$-…+$（-1）^{n+1}（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，
当n为偶数时，T_n=$1-\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$；
当n为奇数时，T_n=$1+\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n+2}{2n+1}$．

点评 本题考查了“裂项求和”、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．