Question

6．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=-11，a₄+a₆=-6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求当S_n取最小值时，序号n的值，并求出S_n的最小值；
（3）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=-11，a₄+a₆=-6．利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列的前n项和公式与而此时的单调性即可得出；
（3）由a_n=2n-13≤0，解得n≤6，当n≤6时，数列{|a_n|}的前n项和T_n=-S_n，当n≥7时，T_n=-2S₆+S_n即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=-11，a₄+a₆=-6．
∴2×（-11）+8d=-6，解得d=2，
∴a_n=-11+2（n-1）=2n-13．
（2）S_n=$\frac{n（-11+2n-13）}{2}$=n²-12n=（n-6）²-36，
∴当n=6时，S_n取最小值为-36．
（3）由a_n=2n-13≤0，解得n≤6，
∴当n≤6时，数列{|a_n|}的前n项和T_n=-S_n=12n-n²，
当n≥7时，T_n=-2S₆+S_n
=-2×（12×6-6²）+n²-12n
=n²-12n-72．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、含绝对值的数列求和问题、二次函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．