Question

如图，边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱A₁D₁，B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线AE与FC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求直线AC₁与平面B₁BCC₁所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）因为E、F分别是棱A₁D₁，B₁C₁的中点，连接BF，则BF∥AE，所以∠BFC为异面直线AE与FC所成角，利用余弦定理求余弦值；
（2）因为AB⊥平面B₁BCC₁，所以∠AC₁B为直线AC₁与平面B₁BCC₁所成角．

解答： 解：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱A₁D₁，B₁C₁的中点．连接BF，则EF∥AB，所以BF∥AE，所以∠BFC为异面直线AE与FC所成角，
cos∠BFC=

BF2+CF2-BC2

2BF×CF

=

5+5-4

2 5 × 5

=

3

5

，
所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为

3

5

．
（2）因为AB⊥平面B₁BCC₁，所以∠AC₁B为直线AC₁与平面B₁BCC₁所成角，tan∠AC₁B=

AB

BC1

=

2

2 2

=

2

2

；
直线AC₁与平面B₁BCC₁所成角的正切值

2

2

．

点评：本题考查异面直线所成的角以及线面角的求法，考查学生分析解决问题、转化的能力，属于中档题．