Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，D为A₁C₁的中点，线段B₁C上的点M满足向量

B1M

=λ

B1C

，若

AD

与

BM

的夹角小于45°，求实数λ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，建立空间直角坐标系．A（0，-1，1），D(

3

2

，-

1

2

，0)，B（0，1，1），B₁（0，1，0），C(

3

，0，1)．利用向量的坐标运算可得点M的坐标，再利用向量的夹角公式即可得出．

解答： 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A（0，-1，1），D(

3

2

，-

1

2

，0)，B（0，1，1），B₁（0，1，0），C(

3

，0，1)．
∵

B1M

=λ

B1C

，（λ∈[0，1]）．
∴

OM

=

OB1

+λ(

OC

-

OB1

)=(1-λ)

OB1

+λ

OC

=（1-λ）（0，1，0）+λ(

3

，0，1)=(

3

λ，1-λ，λ)．

AD

=(

3

2

，

1

2

，-1)，

BM

=(

3

λ，-λ，λ-1)．
∴

AD

•

BM

=

3

2

λ-

1

2

λ+1-λ=1，|

AD

|=

2

，|

BM

|=

5λ2-2λ+1

∵

AD

与

BM

的夹角小于45°，
∴

AD • BM

| AD | | BM|

≥cos45°，
∴

1

2 • 5λ2-2λ+1

≥

2

2

，
化为5λ²-2λ≤0，解得0≤λ≤

2

5

．
∴λ的取值范围是[0，

2

5

]．

点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的夹角公式、余弦函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．