Question

（1）若0＜α＜

π

2

，试比较α，sinα，tanα的大小；
（2）若0＜α＜β＜

π

2

，试比较β-sinβ与α-sinα的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）画出单位圆，利用三角函数线及三角形、扇形面积公式可比较大小．
（2）构造函数f（x）=x-sinx，x∈（0，

π

2

），利用导数可判断单调性，由单调性可得结论；

解答： 解：（1）如图所示：sinα=MP，tanα=AT，
S_△OAP＜S_扇形POA＜S_△AOT，即

1

2

MP＜

1

2

α＜

1

2

AT，
∴

1

2

sinα＜

1

2

α＜

1

2

tanα，
∴sinα＜α＜tanα．
（2）令f（x）=x-sinx，x∈（0，

π

2

），
则f′（x）=1-cosx＞0，
∴f（x）在（0，

π

2

）上单调递增，
又0＜α＜β＜

π

2

，
∴f（α）＜f（β），即α-sinα＜β-sinβ．

点评：该题考查三角函数线的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查学生解决问题的能力．