Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA=PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO=AD=2BC=2CD．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求二面角A-PC-O的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：（Ⅰ）设BD∩OC=F，连接EF，由已知条件推导出EF∥PO，平面ABCD⊥平面PAD，PO⊥平面ABCD，从而得到EF⊥平面ABCD，进而得到AB⊥EF，再由AB⊥BD，能证明AB⊥平面BED，由此得到AB⊥DE．
（Ⅱ）在平面ABCD内过点A作AH⊥CO交CO的延长线于H，连接HE，AE，由已知条件推导出∠AEH是二面角A-PC-O的平面角．由此能求出二面角A-PC-O的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：设BD∩OC=F，连接EF，
∵E、F分别是PC、OC的中点，则EF∥PO，…（1分）
∵CD⊥平面PAD，CD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，
又PA=PD，O为AD的中点，则PO⊥AD，
∵平面ABCD∩平面PAFD=AD，∴PO⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
又AB?平面ABCD，∴AB⊥EF，…（3分）
在△ABD中，AB²+BD²=AD²，AB⊥BD，
又EF∩BD=F，∴AB⊥平面BED，
又DE?平面BED，∴AB⊥DE．…（6分）
（Ⅱ）解：在平面ABCD内过点A作AH⊥CO交CO的延长线于H，
连接HE，AE，
∵PO⊥平面ABCD，∴POC⊥平面ABCD，
平面POC∩平面ABCD=AH，∴AH⊥平面POC，
PC?平面POC，∴AH⊥PC．
在△APC中，AP=AC，E是PC中点，∴AE⊥PC，
∴PC⊥平面AHE，则PC⊥HE．
∴∠AEH是二面角A-PC-O的平面角．…（10分）
设PO=AD=2BC=2CD=2，
而AE²=AC²-EC²，
AE=

14

2

，AH=

2

2

，则sin∠AEH=

7

7

，
∴二面角A-PC-O的余弦值为

42

7

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．