Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱BB₁与底面ABC所成的角为60°，∠AA₁B₁为锐角，且侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，给出下列四个结论：
①∠ABB₁=60°；②AC⊥BB₁；③直线AC₁与平面ABB₁A₁所成的角为45°；④B₁C⊥AC₁．其中正确的结论是（　　）

• A、①③
• B、②④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：由题意知∠ABB₁=∠AA₁B₁=60°；AC与BB₁所在成角是60°；过A作AO⊥A₁B₁，连结C₁O，∠C₁AO是直线AC₁与平面ABB₁A₁所成的角，C₁O=AO=

3

，所以直线AC₁与平面ABB₁A₁所成的角为45°；以O为原点，OC₁为x轴，OB₁为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B₁C⊥AC₁．

解答： 解：由题意知四边形AA₁B₁B是平行四边形，且∠AA₁B₁=60°，
∴∠ABB₁=∠AA₁B₁=60°，故①正确；
∵AC∥A₁C₁，BB₁∥AA₁，∠AA₁C₁=60°，
∴AC与BB₁所在成角是60°，故②错误；
过A作AO⊥A₁B₁，连结C₁O，
∵侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，∴AO⊥面A₁B₁C₁，
∴∠C₁AO是直线AC₁与平面ABB₁A₁所成的角，
∵∠ABB₁=∠C₁A₁O=60°，A₁C₁=AA₁=2，
∴C₁O=AO=2sin60°=

3

，
∴∠C₁A₁O=45°，即直线AC₁与平面ABB₁A₁所成的角为45°，故③正确；
以O为原点，OC₁为x轴，OB₁为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，

3

），C₁（

3

，0，0），B₁（0，1，0），C（

3

，1，

3

），
∴

B1C

=（

3

，0，

3

），

AC1

=（

3

，0，-

3

），
∴

B1C

•

AC1

=0，∴B₁C⊥AC₁，故④正确．
故选：C．

点评：本题以三棱柱为载体，考查空间角、空间直线的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．