Question

定义在R上的函数f（x）=

1

3

x³+cx+3，f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=4ln x-f′（x），求g（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）首先根据f（x）=

1

3

x³+cx+3，求出f′（x）=x²+c；然后根据f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，求出f′（0）=c=-1，进而求出函数y=f（x）的解析式即可；
（Ⅱ）分别求出g（x）、g′（x），然后分两种情况：①当0＜x＜

2

和②当x≥

2

时，讨论求出g（x）的极值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

1

3

x³+cx+3，f′（x）=x²+c，
因为f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，
所以f′（0）=c=-1，
即f（x）=

1

3

x³-x+3；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得g（x）=4lnx-x²+1，x∈（0，+∞），
则g′(x)=

4

x

-2x=

4-2x2

x

=-

2(x+ 2 )(x- 2 )

x

，
①当0＜x＜

2

时，g′（x）＞0，
可得g（x）在（0，

2

）上为增函数；
②当x≥

2

时，g′（x）≤0，
可得g（x）在（

2

，+∞）上为减函数；
所以g（x）在x=

2

处取得极大值g（

2

）=2ln2-1．

点评：此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．