Question

设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，且有

2

sin（2A+

π

4

）+sin（A+C+

π

6

）=1+2cos²A．
（Ⅰ）求A、B的值；
（Ⅱ）若a²+c²=b-ac+2，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式变形后，根据正弦函数值域确定出sin2A与sin（B-

π

6

）的值，进而确定出A与B的度数；
（Ⅱ）由cosB的值，利用余弦定理列出关系式，结合已知等式求出b的值，再由b，sinA，sinB的值，利用正弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得：sin2A+cos2A+sin（B-

π

6

）=2+cos2A，即sin2A+sin（B-

π

6

）=2，
∵sin2A≤1，sin（B-

π

6

）≤1，
∴sin2A=1，sin（B-

π

6

）=1，
∵0＜2A＜2π，-

π

6

＜B-

π

6

＜

5π

6

，
∴2A=

π

2

，B-

π

6

=

π

2

，
则A=

π

4

，B=

2π

3

；
（Ⅱ）∵cosB=-

1

2

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac，
∵a²+c²=b-ac+2，
∴b²-b-2=0，
解得：b=2（负值舍去），
则由正弦定理得：a=

bsinA

sinB

=

2× 2 2

3 2

=

2 6

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．