Question

如图所示，一个三棱锥的三视图中，其俯视图是正三角形，主视图及左视图的轮廓都是直角三角形，若这个三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，则这个球的体积为

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体,球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：由三视图可知几何体是底面为正三角形，一条侧棱垂直底面正三角形的一个顶点的三棱锥，三棱锥展开为三棱柱，求出外接球的半径，即可求解外接球的体积．

解答： 解：三视图可知几何体是底面为正三角形，边长为：3，一条侧棱垂直底面正三角形的一个顶点的三棱锥，三棱锥的高为4，
三棱锥展开为三棱柱，三棱柱与三棱锥的外接球是同一个外接球，连结三棱柱的底面的中心，中点就是外接球的球心，
外接球的半径为：r=

22+( 2 3 × 3 2 ×3)2

=

7

，
∴外接球的体积为：

4

3

πr3=

28 7

3

π．
故答案为：

28 7

3

π

点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，外接球的体积求法，求解几何体外接球的半径是解题的关键．