Question

已知实数a₁，a₂，a₃不全为零，正数x，y满足x+y=2，设

xa1a2+ya2a3

a12+a22+a32

的最大值为M=f（x，y），则M的最小值为

 

．

Answer 1

考点：柯西不等式的几何意义

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：讨论a₂=0，a₂≠0，对原分式分子分母同除以a₂，运用x≤|x|，然后分子运用柯西不等式，分母运用均值不等式，再化简得到M=

x2+y2

2

，根据条件正数x，y满足x+y=2，消去y，配方求出x²+y²的最小值，从而得到M的最小值．

解答： 解：若a₂=0，则

xa1a2+ya2a3

a12+a22+a32

=0，
若a₂≠0，则

xa1a2+ya2a3

a12+a22+a32

=

xa1+ya3

a12+a32 a2 +a2

≤

x|a1|+y|a3|

a12+a32 |a2| +|a2|

≤

(x2+y2)(a12+a32)

2 a12+a32

=

x2+y2

2

，
∴M=

x2+y2

2

，
∵正数x，y满足x+y=2，即y=2-x，
∴x²+y²=x²+（2-x）²=2x²-4x+4=2（x-1）²+2，
当x=1时，x²+y²取最小值2，
∴M的最小值为

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题主要考查柯西不等式及均值不等式的运用，考查转化思想及配方思想，是一道综合题．